Question

已知函数f（x）=log₅

1+x

1-x

，
（1）证明f（x）为奇函数．
（2）判断f（x）的单调性并证明．
（3）解不等式f（x）＜f（1-x）

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0，求得函数f（x）的定义域为（-1，1）．再根据 f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（2）函数 f（x）在（-1，1）上是增函数．证明：任取-1＜x₁＜x₂＜1，计算f（x₁）-f（x₂）=log₅ （

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

）＜0，可得 f（x₁）-f（x₂）＜0，从而证得函数 f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）根据函数 f（x）在（-1，1）上是增函数，故由不等式f（x）＜f（1-x）可得-1＜x＜1-x＜1，求得x的范围，可得不等式的解集．

解答：解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，即-1＜x＜1
∴函数f（x）=log₅

1+x

1-x

的定义域为（-1，1）．
在（-1，1）上任取一个自变量x则 f（-x）=log₅

1-x

1+x

=-log₅

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）函数 f（x）在（-1，1）上是增函数．
证明：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=log₅

1+x1

1-x1

-log₅

1+x2

1-x2

=log₅ （

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

），
由题设可得 0＜

1+x1

1+x2

＜1，0＜

1-x2

1-x1

＜1，
故 log₅ （

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数 f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵函数 f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴由不等式f（x）＜f（1-x）可得-1＜x＜1-x＜1，解得 0＜x＜

1

2

，
故不等式的解集为 （0，

1

2

）．

点评：本题主要考查奇函数的定义，函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性和定义域解不等式，属于中档题．