Question

设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，且复数z对应的点在第一象限．
（I）求复数z；
（II）求

. z

z

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设复数z=a+bi，由复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数联立方程组求解a，b的值，则复数z可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的z代入，然后利用复数代数形式的除法运算化简即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）设复数z=a+bi，因为|z|=1，所以a²+b²=1  ①
（3+4i）•z=（3a-4b）+（4a+3b）i，因为（3+4i）•z是纯虚数，
所以3a-4b=0且4a+3b≠0  ②
由①②解得

a= 4 5 b= 3 5

或

a=- 4 5 b=- 3 5

（舍）．
所以z=

4

5

+

3

5

i；
（Ⅱ）

. z

z

=

4 5 - 3 5 i

4 5 + 3 5 i

=

7

25

-

24

25

i．

点评：本题考查了复数的模及复数代数形式的乘除运算，训练了二元二次方程组的解法，是基础的运算题．