题目内容
设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，且复数z对应的点在第一象限．
（I）求复数z；
（II）求
的值．
（I）求复数z；
（II）求
| ||
| z |
分析：（Ⅰ）设复数z=a+bi，由复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数联立方程组求解a，b的值，则复数z可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的z代入，然后利用复数代数形式的除法运算化简即可得到答案．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的z代入，然后利用复数代数形式的除法运算化简即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）设复数z=a+bi，因为|z|=1，所以a2+b2=1 ①
（3+4i）•z=（3a-4b）+（4a+3b）i，因为（3+4i）•z是纯虚数，
所以3a-4b=0且4a+3b≠0 ②
由①②解得
或
（舍）．
所以z=
+
i；
（Ⅱ）
=
=
-
i．
（3+4i）•z=（3a-4b）+（4a+3b）i，因为（3+4i）•z是纯虚数，
所以3a-4b=0且4a+3b≠0 ②
由①②解得
|
|
所以z=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅱ）
| ||
| z |
| ||||
|
| 7 |
| 25 |
| 24 |
| 25 |
点评：本题考查了复数的模及复数代数形式的乘除运算，训练了二元二次方程组的解法，是基础的运算题．
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