题目内容

已知函数f（x）=2ax- $数学公式$ ，x∈（0，1]．
（1）若f（x）在x∈（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．

解：（1）由已知可得f′（x）=2a+ $\text{[math]}$ ，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）＞0，即a＞- $\text{[math]}$ ，x∈（0，1]．∴a＞-1．
当a=-1时，f′（x）=-2+ $\text{[math]}$ 对x∈（0，1）也有f′（x）＞0，
满足f（x）在（0，1]上为增函数，∴a≥-1．
（2）由（1）知，当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，
∴[f（x）]_max=f（1）=2a-1．
当a＜-1时，令f′（x）=0得x= $\text{[math]}$ ，
∵0＜ $\text{[math]}$ ＜1，∴0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，
f′（x）＞0； $\text{[math]}$ ＜x≤1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上是增函数，
在（ $\text{[math]}$ ，1]减函数．
∴[f（x）]_max=f（ $\text{[math]}$ ）=-3 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）已知f（x）在（0，1]上为增函数，所以f′（x）＞0，x∈（0，1]，解出a＞-1，需考虑a=-1的情形．
（2）由（1）得当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，当a＜-1时，利用导数研究函数的单调性求解函数的最值．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性这一函数知识，是教学中的重点和难点，应熟练掌握．