Question

【题目】如图,在直角梯形中, , 是的中点,将沿折起,使得.

（Ⅰ）若是的中点,求证: 平面;

（Ⅱ）求证:平面平面;

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析： 连接交于点，连接，推导出，由此能证明平面； 推导出，从而平面，由此能证明平面平面； 以为原点,以所在的直线分别为轴轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小

解析：（Ⅰ）证明:连接交于点,连接,

在正方形中, 为中点,又因为为中点,

所以,

又因为平面, 平面,

所以平面.

（Ⅱ）由已知可得

又因为平面

所以平面

因为平面

所以平面平面

解:（Ⅲ）由（Ⅱ）知, 平面所以,又因为

所以平面

所以以为原点,以所在的直线分别为轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则点, , , , .

所以,,.

设平面的法向量为,

所以即

令,解得.

设平面的法向量为,

所以即

令,解得.

所以.

由图可知,二面角为钝角,所以二面角的大小为.