Question

【题目】已知数集具有性质:对任意的 ,,使得成立.

（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;

（Ⅱ）求证;

（Ⅲ）若,求数集中所有元素的和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）具有（2）见解析（3）最小值为

【解析】试题分析：

（1）利用性质的含义及特例可判断数集不具有性质，数集具有性质．（2）数集具有性质可得， ， ， ，

将上述不等式相加得，化简得，即为所求．（3）由及性质可得，从而易知数集的元素都是整数，构造或者，此时元素和为，然后再证明是最小的和．

试题解析：

（）∵，

∴数集不具有性质．

∵， ， ，

∴数集具有性质．

（）∵集合具有性质即对任意的， ， 使得成立，

又， ，

∴， ，

∴， ，

∴，

即， ， ， ，

将上述不等式相加得，

化简得．

（）最小值为．

首先注意到，根据性质，得到，

所以易知数集的元素都是整数，

构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为．

下面，证明是最小的和．

假设数集，满足最小（存在性显然，因为满足的数集只有有限个）．

第一步：首先说明集合中至少有个元素：

由（）可知， ， ， ，

又，

∴， ， ， ， ， ，

∴．

第二步：证明， ， ，

若，设，

∵，为了使最小，

在集合中一定不含有元素，使得，

从而；

若，根据性质，对，有， ，使得，

显然，

∴，

此时集合中至少有个不同于， ， 的元素，

从而，矛盾，

∴，进而， ，且．

同理可证：若，则．

假设，

∵，根据性质，有， ，使得，

显然，

∴，

此时集合中至少还有个不同于， ， ， 的元素，

从而，矛盾，

∴，且，

同理可证：若，则．

假设，

∵，根据性质，有， ，使得，

显然，

∴，

此时集合中至少还有个不同于， ， ， ， 的元素，

从而，矛盾，

∴，且．

至此，我们得到， ， ， ， ，

根据性质，有， ，使得，我们需要考虑如下几种情形：

①， ，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则；

②， ，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则；

③， ，此时集合， ；

④， ，此时集合， ．

综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是．