Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件为q=-1．

Answer 1

【答案】分析：充分性：当q=-1时，a₁=S₁=p+q=p-1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．当n=1时也成立．于是数列{a_n}为等比数列；必要性：当n=1时，a₁=S₁=p+q．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．由p≠0，p≠1．知==p．故q=-1．由此得到q=-1是数列{a_n}为等比数列的充要条件．
解答：证明：充分性：当q=-1时，a₁=S₁=p+q=p-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
当n=1时也成立．
于是==p（n∈N₊），
即数列{a_n}为等比数列．
必要性：当n=1时，a₁=S₁=p+q．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
∵p≠0，p≠1．
∴==p．
∵{a_n}为等比数列，
∴==p，=p，
即p-1=p+q．∴q=-1．
综上所述，q=-1是数列{a_n}为等比数列的充要条件．
点评：本题考查等比数列的性质和应用，考查充要条件的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．