题目内容
已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F，B，C三点作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m+n≤0时，椭圆的离心率的取值范围．
（Ⅱ）直线AB能否和圆P相切？证明你的结论．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）当m+n≤0时，椭圆的离心率的取值范围．
（Ⅱ）直线AB能否和圆P相切？证明你的结论．
（Ⅰ）由题意FC，BC的中垂线方程分别为x=
，y-
=
(x-
)，
于是圆心坐标为(
，
)．（4分）
m+n=
+
≤0，即ab-bc+b2-ac≤0，
即（a+b）（b-c）≤0，所以b≤c，于是b2≤c2＞c^即a2≤2c2，
所以e2≥
，又0＜e＜1，∴
≤e＜1．（7分）
（Ⅱ）假设相切，则kAB•kPB=-1，（9分）
∵kPB=
=
，kAB=
，∴kPB•kAB=
=-1，（11分）
∴a2-c2+ac=a2-ac，即c2=2ac，∵c＞0，∴c=2a这与0＜c＜a矛盾．
故直线AB不能与圆P相切．（13分）
| a-c |
| 2 |
| b |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| 2 |
于是圆心坐标为(
| a-c |
| 2 |
| b2-ac |
| 2b |
m+n=
| a-c |
| 2 |
| b2-ac |
| 2b |
即（a+b）（b-c）≤0，所以b≤c，于是b2≤c2＞c^即a2≤2c2，
所以e2≥
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）假设相切，则kAB•kPB=-1，（9分）
∵kPB=
b-
| ||
0-
|
| b2+ac |
| b(c-a) |
| b |
| a |
| b2+ac |
| a(c-a) |
∴a2-c2+ac=a2-ac，即c2=2ac，∵c＞0，∴c=2a这与0＜c＜a矛盾．
故直线AB不能与圆P相切．（13分）
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