Question

【题目】某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子,瓶子是按照统一规格设计的,瓶体上部为半球体,下部为圆柱体,并保持圆柱体的容积为3π.设圆柱体的底面半径为x,圆柱体的高为h,瓶体的表面积为S.

(1)写出S关于x的函数关系式;

(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度),可以使表面积S最小,并求出最小值.

Answer 1

【答案】（1）S=3πx2+(x>0).（2）当圆柱体的底面半径为1时,可使表面积S取得最小值9π.

【解析】

（1）根据体积公式求出h，再根据表面积公式计算即可得到S与x的关系式，

（2）根据导数和函数的最值得关系即可求出．

解:(1)据题意可知πx2h=3π,得h=,

则S=·4πx2+πx2+2πx·=3πx2+(x>0).

(2)S'=6πx-,

令S'=0,得x=1.列表如下:

x	(0,1)	1	(1,+∞)
S'	-	0	+
S	↘	极小值9π	↗

当x=1时,S取得极小值,且是最小值,

故当圆柱体的底面半径为1时,可使表面积S取得最小值9π.