Question

直角三角形ABC中，C=

π

2

，AC=2，BC=4．已知

CP

=λ(

AB

+

AC

)，则

PA

•

PB

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：以直角三角形的直角C为坐标原点，以两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，利用

CP

=λ(

AB

+

AC

)，可以求出点P的坐标，求出

PA

•

PB

的关系式，利用二次函数求最值，即可求得答案．

解答：解：以直角三角形的直角C为坐标原点，以两条直角边为坐标轴建立直角坐标系如图所示，
∵AC=2，BC=4，
∴C（0，0），A（0，2），B（4，0），
∴

AB

=（4，-2），

AC

=（0，-2），
故

AB

+

AC

=（4，-4），
设点P的坐标为（x，y），则

CP

=（x，y），
∵

CP

=λ(

AB

+

AC

)，则（x，y）=λ（4，-4），
∴x=4λ，y=-4λ，即P（4λ，-4λ），
∴

PA

=(-4λ，2+4λ)，

PB

=(4-4λ，4λ)，
∴

PA

•

PB

=-4λ（4-4λ）+4λ（2+4λ）=32λ²-8λ=32（λ-

1

8

）²-

1

2

，
故当λ=

1

8

时，

PA

•

PB

取最小值为-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查了平面向量数量积的运算，解决平面向量数量积的问题，一般有三种方法：向量转化法，坐标化法，特殊值法．运用转化法求解的关键是运用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则，将要求的向量一步一步向已知的向量转化．属于中档题．