Question

（2012•宝鸡模拟）如图，已知PA⊥平面ABC，且PA=

2

，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
（1）求证：PC⊥平面ADE；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证PC⊥平面ADE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PC与平面ADE内两相交直线垂直，而PC⊥AD，PC⊥AE，AE∩AD=A，满足定理条件；
（2）在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，连接AF，根据线面所成角的定义知∠BAF为直线AB和平面ADE所成的角，在RT△BFA中求出此角即可．也可以建立空间直角坐标系，利用向量来求．

解答：解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，又AB⊥BC，且PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，从而BC⊥AD．…（3分）
又AD⊥PB，BC∩PB=B，所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，
又PC⊥AE，所以PC⊥平面ADE．…（6分）
（2）在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，连接AF，
因为PC⊥平面ADE，
所以BF⊥平面ADE，∠BAF为直线AB和平面ADE所成的角．…（9分）
在三角形PBC中，PD=

2 3

3

，则BD=

3

3

，得BF=

1

2

．
在Rt△BFA中，sin∠BAF=

BF

BA

=

1

2

，
所以直线AB与平面ADE所成的角为30°．…（12分）
另解：过点B作BZ∥AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），C（0，1，0），P（1，0，

2

），因为PC⊥平面ADE，设向量

PC

与

AB

所成的角为θ，
则cosθ=

PC • AB

| PC |•| AB |

=

(-1，1，- 2 )•(-1，0，0)

2

=

1

2

，
则直线AB与平面ADE所成的角为30°．…（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．