Question

12．（1）若复数z₁=a+i，z₂=1-i（i为虚数单位），且z₁-z₂为纯虚数，求实数a的值．
（2）已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2-i，求|z+i|，并求出复数$\frac{1+i}{z}$的虚部．

Answer 1

分析 （1）由复数z₁，z₂，求出z₁-z₂，且z₁-z₂为纯虚数，得到实部为0，虚部不为0，即可求出a的值．
（2）由（1+i）z=2-i，利用复数代数形式的乘除运算求出z，则|z+i|可求，把z代入$\frac{1+i}{z}$，然后化简即可求出复数$\frac{1+i}{z}$的虚部．

解答 解：（1）由复数z₁=a+i，z₂=1-i，
则z₁-z₂=a+i-（1-i）=a-1+2i．
∵z₁-z₂为纯虚数，
∴a-1=0．则a=1；
（2）由（1+i）z=2-i，
得$z=\frac{2-i}{1+i}=\frac{（2-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$．
则|z+i|=$|\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i+i|$=$|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i|=\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵$\frac{1+i}{z}$=$\frac{1+i}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i}=\frac{2（1+i）（1+3i）}{（1-3i）（1+3i）}=-\frac{2}{5}+\frac{4}{5}i$，
∴复数$\frac{1+i}{z}$的虚部为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的求法，是基础题．