Question

【题目】已知两个函数，

（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值；

（Ⅱ）求证：对任意，不等式都成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分类讨论，详见解析；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

（Ⅰ）利用导数得出在区间上为减函数，在区间上为增函数，然后分和两种情况讨论

（Ⅱ）求出的最小值和的最大值，将问题转化为两函数最值之间大小关系的判断即可.

（Ⅰ）由得：

∴当时，，当时，

∴在区间上为减函数，在区间上为增函数

①当时，在区间上为增函数，

的最大值为

②当时，

在区间上为减函数，在区间上为增函数

∴的最大值为

下面比较与大小

∵

∴当时，，

故在区间上的最大值为

当时，，

在区间上的最大值为

综上可知：当时，在区间上的最大值为

当时，在区间上的最大值为

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数

所以当时，

又由得：

∴当时，，当时，

∴在区间上为增函数，在区间上为减函数

所以当时，

综上可知，当时，不等式恒成立．