Question

2．若$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1过点（cosα，sinα），求证：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥1．

Answer 1

分析 问题转化为求圆心到直线的距离，从而得到答案．

解答 由于直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1通过点（cosα，sinα），
∴$\frac{cosα}{a}$+$\frac{sinα}{b}$=1，
又点（cosα，sinα）在单位圆 x²+y²=1上，
故直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1和单位圆 x²+y²=1有公共点，
∴圆心到直线的距离$\frac{1}{\sqrt{{（\frac{1}{a}）}^{2}{+（\frac{1}{b}）}^{2}}}$≤1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥1．

点评 本题考查了不等式的证明，考查转化思想，是一道基础题．