Question

已知函数，其中是常数且.
（1）当时，在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）设是正整数，证明：.

Answer 1

（1） ；（2）当时， 的减区间为，增区间为；当时， 的减区间为，增区间为；（3）详见解析.

试题分析：（1）利用导数法，然后才有分离参数的思路进行求解； （2）明确函数的解析式，利用求导法和分类讨论进行求解；（3）用代替中的得到，再证明不等式成立.
试题解析：（1）∵，则，∴，
∵当时，是增函数，∴在时恒成立.     （2分）
即在时恒成立. ∵当时，是减函数，
∴当时，，∴.         （4分）
（2）∵，∴，
∴，                 （5分）
∴当时，由得或，故的减区间为，增区间为.
当时，由得或，故的减区间为，增区间为.                                   （9分）
（3）由（1）知，当，时，在时增函数，
∴，即，∴，
∵，∴，∴，
即，            （12分）
∴

∴.        （14分）