Question

已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线的斜率．
（1）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）当 时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）在函数定义域范围内求函数的极值，则极值点在内；（2）首先根据条件分离出变量，由转化成求的最小值（利用二次求导判单调性）；（3）结合第（2）问构造出含
的不等关系，利用裂项相消法进行化简求和.
试题解析：（1）由题意，              1分
所以                   2分
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值．                      3分
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以，得．即实数的取值范围是．        4分
（2）由得，令，
则．                           6分
令，则，
因为所以,故在上单调递增．        7分
所以,从而
在上单调递增,
所以实数的取值范围是．                    9分
（3）由(2) 知恒成立,
即         11分
令则，        12分
所以， ，  ,．
将以上个式子相加得：
，
故．               14分