Question

已知函数f（x）=|x+2|-|2x-2|
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）设g（x）=x-a，对任意x∈[a，+∞）都有 g（x）≥f（x），求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）分类讨论，去掉绝对值，分别求得不等式f（x）≥-2的解集，再取并集，即得所求．
（2）作出f（x）的图象，数形结合求得满足x∈[a，+∞）时g（x）≥f（x）的a的取值范围．

解答： 解：（1）对于f（x）≥-2，当x≤-2时，不等式即x-4≥-2，即x≥2，∴x∈∅；
当-2＜x＜1时，不等式即3x≥-2，即x≥-

2

3

，∴-

2

3

≤x＜1；
当x≥1时，不等式即-x+4≥-2，即x≤6，∴1≤x≤6．
综上，不等式的解集为{x|-

2

3

≤x≤6}．
（2）f（x）=|x+2|-|2x-2|=

x-4，x≤-2 3x，-2＜x＜1 -x+4，x≥1

，函数f（x）的图象如图所示：
∵g（x）=x-a，表示一条斜率为1且在y轴上的截距等于-a的直线，当直线过（1，3）点时，-a=2．
①当-a≥2，即a≤-2时，恒有g（x）≥f（x）成立．
②当-a＜2，即a＞-2时，令f（x）=g（x），即-x+4=x-a，求得x=2+

a

2

，
根据对任意x∈[a，+∞）都有 g（x）≥f（x），∴a≥2+

a

2

，即a≥4．
综上可得，a≤-2 或a≥4．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．