题目内容
已知△ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足
tanA•tanB-tanA-tanB=
，
（Ⅰ）求∠C大小；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围．
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求∠C大小；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围．
分析：（Ⅰ）已知等式变形后，利用两角和与差的正切函数公式化简，再利用诱导公式求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出∠C的度数；
（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，根据A与B都为锐角求出A的范围，由c与sinC的值，利用正弦定理表示出a与b，将表示出的a，b及B代入所求式子中，和差化积后整理为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．
（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，根据A与B都为锐角求出A的范围，由c与sinC的值，利用正弦定理表示出a与b，将表示出的a，b及B代入所求式子中，和差化积后整理为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．
解答：解：（Ⅰ）∵
tanA•tanB-tanA-tanB=
，
∴
=-
，即tan（A+B）=-tanC=-
，
∴tanC=
，
∵∠C为三角形的内角，
则∠C=
；
（II）∵∠A与∠B为锐角，且∠A+∠B=π-∠C=
，即∠B=
-∠A，
∴
＜∠A＜
，
∴
＜2∠A-
＜
，
∵c=2，sinC=
，
∴由正弦定理
=
=
=
得：a=
sinA，b=
sinB，
∴a2+b2=
（sinA+sinB）=
[sinA+sin（
-A）]=
+
sin（2A-
），
∵
＜2∠A-
＜
，
∴
＜sin（2A-
）≤1，即
＜
+
sin（2A-
）≤8，
则a2+b2的范围为（
，8]．
| 3 |
| 3 |
∴
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| 3 |
| 3 |
∴tanC=
| 3 |
∵∠C为三角形的内角，
则∠C=
| π |
| 3 |
（II）∵∠A与∠B为锐角，且∠A+∠B=π-∠C=
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∵c=2，sinC=
| ||
| 2 |
∴由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| 2 | ||||
|
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
∴a2+b2=
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 20 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| π |
| 6 |
则a2+b2的范围为（
| 20 |
| 3 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
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