Question

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），

p

=（b-2，a-2）．
（1）若

m

∥

n

，试判断△ABC的形状并证明；
（2）若

m

⊥

p

，边长c=2，∠C=

π

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

n

可得asinA=bsinB，再利用正弦定理即可证明结论；
（2）由

m

⊥

p

可得a+b=ab，再利用余弦定理可得到（ab）²-3ab-4=0，解此方程即可求得ab的值，从而可求得△ABC的面积．

解答：解：（1）ABC为等腰三角形；
证明：∵

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），

m

∥

n

，
∴asinA=bsinB，
即a•

a

2R

=b•

b

2R

，其中R是△ABC外接圆半径，
∴a=b--------（5分）
∴△ABC为等腰三角形--------（6分）
（2）∵

p

=（b-2，a-2），由题意可知

m

⊥

p

，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab--------（8分）
由余弦定理可知，4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
即（ab）²-3ab-4=0，
∴ab=4或ab=-1（舍去）---------（10分）
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×4×sin

π

3

=

3

．----------（12分）

点评：本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查解方程的能力，属于中档题．