Question

如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.

(1)若两船能相遇，求m.

(2)当m＝10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?

Answer 1

解析 (1)设t小时后，两船在M处相遇，

由tanθ＝，得sinθ＝，cosθ＝，

所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝.

由正弦定理，＝，∴AM＝40，

同理得BM＝40.

∴t＝＝，m＝＝15.

(2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t时刻甲、乙两船分别在P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)处，则|AP|＝15t，|BQ|＝10t.

由任意角三角函数的定义，可得

即点P的坐标是(15t,15t)，

即点Q的坐标是(10t,20t－40)，

∴|PQ|＝＝

＝≥20，

当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 n mile.