Question

18．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 设圆柱的上底面半径为r，球的半径R与上底面夹角为α，由题意推导出当且仅当α=$\frac{π}{4}$时，圆柱的侧面积最大，由此能求出圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比．

解答 解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径R与上底面夹角为α，
则r=Rcosα，圆柱的高为2Rsinα，圆柱的体积为：πr²•2Rsinα，
圆柱的侧面积为：2πR²sin2α，
当且仅当α=$\frac{π}{4}$时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，
此时，圆柱的体积为：$π{r}^{2}•2Rsin\frac{π}{4}$=π•R²$•co{s}^{2}\frac{π}{4}$$•2Rsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$πR³，
球的体积为：$\frac{4}{3}$πR³，
∴球的体积与该圆柱的体积之比是：$\frac{\frac{4}{3}π{R}^{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}π{R}^{3}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查球的体积与该圆柱的体积之比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球、圆的简单性质的合理运用．