Question

如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（　　）种不同的涂色方法？

A．260

B．180

C．240

D．120

Answer 1

分析：由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，第二类，用3种颜色涂色，第三类，用两种颜色涂色．分别写出
三种不同情况下的结果，相加得到所求．

解答：解：由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有A₅⁴种方法．
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C₅³种．
在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有C₂¹种选法；3种颜色涂上去有A₃³种涂法，
根据分步计数原理求得共C₅³•C₂¹•A₃³种涂法．
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有C₅²种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有A₂²种涂法，故共C₅²•A₂²种涂法．
∴共有涂色方法A₅⁴+C₅³•C₂¹•A₃³+C₅²•A₂²=260种，
故选A．

点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．