Question

17、如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有多少种不同的涂色方法？

Answer 1

分析：由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，第二类，用3种颜色涂色，第三类，用两种颜色涂色．分别写出三种不同情况下的结果，相加得到结果．

解答：解：由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有A₅⁴种方法；
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C₅³种；
在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，
另两部分涂异色有C₂¹种选法；3种颜色涂上去有A₃³种涂法．
共C₅³•C₂¹•A₃³种涂法；
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有C₅²种选法；
A、C与B、D各涂一色有A₂²种涂法．共C₅²•A₂²种涂法．
∴共有涂色方法A₅⁴+C₅³•C₂¹•A₃³+C₅²•A₂²=260种．

点评：本题可以这样解：区域A有5种涂色法；区域B有4种涂色法；区域C的涂色法有2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色法，区域D也有3种涂色法．得到共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色法．