Question

15．已知正项数列{a_n}的首项a₁=2，点P（a_n+1，a_n）在曲线x²-y²=1上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}+{a_n}}}$，{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＞-2．

Answer 1

分析 （1）由已知得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=1$，从而{${{a}_{n}}^{2}$}是首项为4，公差为1的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}+{a_n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}$=$\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3}$，利用裂项求和法能证明T_n＞-2．

解答 （1）解：∵正项数列{a_n}的首项a₁=2，点P（a_n+1，a_n）在曲线x²-y²=1上，
∴${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=1$，
又${{a}_{1}}^{2}=4$，∴{${{a}_{n}}^{2}$}是首项为4，公差为1的等差数列，
∴${{a}_{n}}^{2}=4+（n-1）•1$=n+3，
∵正项数列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n=$\sqrt{n+3}$．
（2）证明：∵b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}+{a_n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}$=$\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3}$，
∴T_n=$\sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5}+…+\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3}$
=$\sqrt{n+4}-2$＞-2，
∴T_n＞-2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和裂项求和法的合理运用．