Question

已知数列{a_n}满足：a1=1，an+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

（Ⅰ）求a₂•a₃；
（Ⅱ）设b_n=a_2n-2，n∈N^*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}前100项中所有奇数项的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a₁=1，利用数列递推式，n=1时，a₂=

1

2

a₁+1=

3

2

；n=2时，a₃=a₂-4=-

5

2

；故可求a₂•a₃的值；
（Ⅱ）b₁=a₂-2=-

1

2

，且

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-2×2n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，故可得数列{b_n}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，从而可求其通项公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得a2n=2-(

1

2

)n，当n=2k时，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2…，49），从而可求数列{a_n}前100项中所有奇数项的和．

解答：（Ⅰ）解：a₁=1，n=1时，a₂=

1

2

a₁+1=

3

2

；n=2时，a₃=a₂-4=-

5

2

；
∴a₂•a₃=-

15

4

（Ⅱ）证明：b₁=a₂-2=-

1

2

，且

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-2×2n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

∴数列{b_n}是以-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
∴bn=-

1

2

(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得a2n=2-(

1

2

)n
∵当n=2k时，a_2k+1=a_2k-2×2k（k=1，2…，49）
∴数列{a_n}前100项中所有奇数项的和为1-2×（2+4+…+98）+a₂+a₄+…+a₉₈=(

1

2

)49-4802

点评：本题考查数列的递推式，考查等比数列的定义，考查数列的求和，解题的关键是构造新数列，属于中档题．