Question

如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的比值不超过正常数c，求V的最大值，并写出相应的x的值．

Answer 1

分析：先求出长方体的底面正方形的边长和高，便可求出长方体的容积V解析式，把容积V变形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等号成立条件能否满足，当等号成立条件不能满足时，利用导数值的符号确定函数的单调性，由单调性确定函数的最大值．

解答：解：长方体的底面正方形的边长为1-2x，高为x，所以，容积V=4（x-

1

2

）²x，
铁皮箱的高度x与底面正方形的边长1-2x的比值

x

1-2x

≤c，得 0＜x≤

c

1+2c

，
由均值不等式知V=2（

1

2

-x）（

1

2

-x）（2x）≥

2

27

，
当

1

2

-x=2x，即x=

1

6

时等号成立．
①当

1

6

≤

c

1+2c

，即 c≥

1

4

，V_max=

2

27

；
②当

1

6

≤

c

1+2c

，即 0＜c＜

1

4

时，V'（x）=12（x-

1

3

） ²-

1

3

，
则V′（x）在（0，

1

6

）上单调递减，
∴V'（x）≥V'（

c

1+2c

）＞V'（

1

6

）=0，
∴V（x）在（0，

c

1+2c

]单调递增，
∴V_max=V（

c

1+2c

）=

c

(1+2c)3

总之，0＜c＜

1

4

时，则当x=时

c

1+2c

，V_max=V（

c

1+2c

）=

c

(1+2c)3

；
若 c≥

1

4

，V_max=

2

27

．

点评：此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．