Question

设函数f（x-1）=x+x²+x³+…+xⁿ（x≠0，1），且f（x）中所有项的系数和为a_n，则

lim

n→∞

an

2n

=

2

．

Answer 1

分析：求出表达式的和，然后求出f（x），利用赋值法求出f（x）中所有项的系数和为a_n，通过数列的极限求出极限值．

解答：解：函数f（x-1）=x+x²+x³+…+xⁿ=

x(1-xn)

1-x

，所以f（x）=

(x+1)[(x+1)n-1]

x

，
当x=1时，f（x）中所有项的系数和为a_n=2×（2ⁿ-1）=2×2ⁿ-2，

lim

n→∞

an

2n

=

lim

n→∞

2×2n -2

2n

=2-

lim

n→∞

2

2n

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，二项式定理、数列的极限，是综合题，考查计算能力．