题目内容
过椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）外一点A（m，0）作一直线l交椭圆于P、Q两点，又Q关于x轴对称点为Q1，连结PQ1交x轴于点B．
（1）若
=λ
，求证：
=λ
；
（2）求证：点B为一定点（
，0）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若
| AP |
| AQ |
| PB |
| BQ1 |
（2）求证：点B为一定点（
| a2 |
| m |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设直线l过A（m，0）与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2），可得Q的坐标，由
=λ
，即可证明
=λ
；
（2）先确定mxB=
，再得出x12-λ2x22=a2（1-λ2），即可证明点B为一定点（
，0）．
| AP |
| AQ |
| PB |
| BQ1 |
（2）先确定mxB=
| ||||
| 1-λ2 |
| a2 |
| m |
解答：
证明：（1）设直线l过A（m，0）与椭圆交于P（x1，y1），Q（x2，y2），
而Q1与Q关于x轴对称，则Q1（x2，-y2），
由
=λ
，则y1-0=λ（y2-0），
∴0-y1=λ（0-y2），
∴
=λ
． …（6分）
（2）由
=λ
，则m=
…①
由
=λ
，则xB=
…②
由①×②得 mxB=
…③
又
+
=1 …④
+
=1 …⑤
∵y1=λy2，由④-⑤•λ2得x12-λ2x22=a2（1-λ2），…⑥
由③⑥可知mxB=a2．
∴xB=
．
∴点B为一定点（
，0）． …（13分）
而Q1与Q关于x轴对称，则Q1（x2，-y2），
由
| AP |
| AQ |
∴0-y1=λ（0-y2），
∴
| PB |
| BQ1 |
（2）由
| AP |
| AQ |
| x1-λx2 |
| 1-λ |
由
| PB |
| BQ1 |
| x1+λx2 |
| 1+λ |
由①×②得 mxB=
| ||||
| 1-λ2 |
又
| ||
| a2 |
| ||
| b2 |
| x22 |
| a2 |
| y22 |
| b2 |
∵y1=λy2，由④-⑤•λ2得x12-λ2x22=a2（1-λ2），…⑥
由③⑥可知mxB=a2．
∴xB=
| a2 |
| m |
∴点B为一定点（
| a2 |
| m |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设p：（
）x＜1，q：log2x＜0，则p是q的（ ）
| 1 |
| 2 |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35-75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2013年3月每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD