Question

8．如图所示，已知P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{4{y}^{2}}{75}$=1上一点，F₁，F₂是椭圆的焦点，∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 通过椭圆方程可知F₁F₂=5，通过设PF₁=x，则PF₂=10-x，利用余弦定理计算可知x=5，进而利用${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂代入计算即得结论．

解答 解：∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{4{y}^{2}}{75}$=1，
∴F₁F₂=2$\sqrt{25-\frac{75}{4}}$=5，
设PF₁=x，则PF₂=10-x，
∵∠F₁PF₂=60°，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-{F}_{1}{{F}_{2}}^{2}}{2P{F}_{1}•P{F}_{2}}$，
∴cos60°=$\frac{{x}^{2}+（10-x）^{2}-25}{2x（10-x）}$，
化简得：x²-10x+25=0，
解得：x=5，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$×5×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，利用余弦定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．