Question

在平面直角坐标系xoy中，以原点O为圆心的圆O是曲线|x|+|y|=

6

的内切圆．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O相切于第一象限，且与x、y轴分别交于D，E两点，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点A（m，0）和B（n，0），问这两点的横坐标之积mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出曲线是由(

6

，0)，(0，

6

)，(-

6

，0)，(0，-

6

)围成的正方形，由此能求出圆O的方程．
（2）设直线l与圆O的切点为（x₀，y₀），则直线lx₀x+y₀y=3，令f(x0)=x02(3-x02)=-(x02)2+3x02，由已知条件推导出x0=

6

2

时，f（x₀）最大，由此能求出直线l的方程．
（3）设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），直线PM的方程：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，从而解得A(

x1y2-x2y1

y2-y1

，0)，B(

x1y2+x2y1

y2+y1

，0)，由此能求出mn=3．

解答： 解：（1）当x≥0，y≥0时，
曲线x+y=

6

是以点(

6

，0)，(0，

6

)为端点的线段，
根据对称性可知，曲线是由(

6

，0)，(0，

6

)，(-

6

，0)，(0，-

6

)围成的正方形，
∴圆O的半径

3

，∴圆O的方程为x²+y²=3．
（2）设直线l与圆O的切点为（x₀，y₀），则x02+y02=3，(x0＞0，y0＞0)，
∴直线l：y-y₀=-

x0

y0

(x-x0)，即x₀x+y₀y=3，
∴D（

3

x0

，0），E（0，

3

y0

），
∴DE=

9 x02 + 9 y02

=

3 3

x02(3-x02)

，
令f(x0)=x02(3-x02)=-(x02)2+3x02，
∴x02=

3

2

，即x0=

6

2

时，f（x₀）最大，
此时DE最大，y0=

6

2

，∴直线l：x0+y0=

6

．
（3）设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
则N（x₂，-y₂），x12+y12=3，x22+y22=3，
∴直线PM的方程：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，解得A(

x1y2-x2y1

y2-y1

，0)，同理B(

x1y2+x2y1

y2+y1

，0)，
∴mn=

x1y2-x2y1

y2-y1

•

x1y2+x2y1

y2+y1

=

x12y22-x22y12

y22-y12

=

(3-y12)y22-(3-y22)y12

y22-y12

=3．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，考查两点横坐标之积是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．