题目内容

（12分）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

（1）椭圆的标准方程为

       （2）设，得:

 ，,

     

以为直径的圆过椭圆的右顶点，，

，

，，且均满足，

当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾

当时，的方程为，则直线过定点

直线过定点，定点坐标为

练习册系列答案
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知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是(-
2
，  0)，  (
2
，  0)，则PC•PD的最大值为
 
．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为 2
3
，左准线 l与x轴的交点为M，|MA1|：|A1F1|=
3
：1，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与 A1，A2均不重合，设直线 PA1与 PA2的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若
|OP|
|OM|
=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过P(-
1
2
，
1
2
)且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．
如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A、B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“优美椭圆”；类比“优美椭圆”，可推出“优美双曲线”的离心率为
1+
5
2
1+
5
2
．
（2013•蓟县二模）椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，
|CD|
|AB|
=2
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点F1、O（O为坐标原点），并且与直线x=-
a2
c
（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求
F2A
•
F2B
=
1
2
时直线l的方程．

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