Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过P(-

1

2

，

1

2

)且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意可得

b=c 2b=2 a2=b2+c2

，解出即可；
（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l的斜率存在时，利用平方差法：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程作差，根据斜率公式、中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式即可求得此时直线方程；当直线斜率不存在时，求出点A、B坐标，检验即可；

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．                          
（Ⅰ）由已知可得

b=c 2b=2 a2=b2+c2

⇒

a2=2 b2=1 c2=1

．                     
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．                           
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+

1

2

)+

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，两式相减得：

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

．
∵P是AB的中点，∴

x1+x2

2

=-

1

2

，

y1+y2

2

=

1

2

，
代入上式可得直线AB的斜率为k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴直线l的方程为2x-4y+3=0．
当直线l的斜率不存在时，将x=-

1

2

代入椭圆方程并解得A(-

1

2

，

14

4

)，B(-

1

2

，-

14

4

)，
这时AB的中点为(-

1

2

，0)，∴x=-

1

2

不符合题设要求．
综上，直线l的方程为2x-4y+3=0．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，凡涉及弦中点问题一般可考虑“平方差”法，即设出弦端点坐标，代入圆锥曲线方程作差，由中点坐标公式及斜率公式可得弦斜率及中点坐标关系．