Question

（2013•蓟县二模）椭圆的中心在坐标原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，

|CD|

|AB|

=2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点F₁、O（O为坐标原点），并且与直线x=-

a2

c

（其中a为长半轴长，c为椭圆的半焦距）相切的圆的方程；
（Ⅲ）求

F2A

•

F2B

=

1

2

时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易求焦点F₁（-1，0），设椭圆的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，解方程组

y2=-4x x=-1

得C、D坐标，由

|CD|

|AB|

=2

2

，可得点A坐标，代入椭圆方程联立a²-b²=1可得b，a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求左准线方程，由题意可设M（-

1

2

，t），由圆与椭圆的左准线相切可求半径，再由点O到M的距离为半径可得t，从而得圆心坐标，进而可得圆的标准方程；
（Ⅲ）分两种情况进行讨论：①若AB垂直于x轴，易求

F2A

•

F2B

，可得结论；②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），联立直线与椭圆方程并消掉y得x的二次方程，利用向量的数量积运算及韦达定理可用k表示出

F2A

•

F2B

，令其为

1

2

可求k值，从而可得直线方程；

解答：解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F₁（-1，0），
设椭圆的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
解方程组

y2=-4x x=-1

得C（-1，2），D（-1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴

|F1C|

|F1A|

=

|CD|

|AB|

=2

2

，|F1A|=

2

2

，∴A（-1，

2

2

）．
∴

1

a2

+

1

2b2

=1，又a²-b²=1，
所以，

1

b2+1

+

1

2b2

=1，解得b²=1并推得a²=2，
故椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）∵a=

2

，b=1，c=1，∴

a2

c

=2，
∵圆过点O、F₁，∴圆心M在直线x=-

1

2

上，
设M（-

1

2

，t），由于圆与椭圆的左准线相切，
则圆半径r=|（-

1

2

）-（-2）|=

3

2

，
由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，解得t=±

2

，
∴所求圆的方程为(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

．
（Ⅲ） 由点F₁（-1，0），F₂（1，0），
①若AB垂直于x轴，则A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，
∴

F2A

=(-2，

2

2

)，

F2B

=(-2，-

2

2

)，

F2A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

，与条件不符；
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

得，（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
∵△=8k²+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

，
∴

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²
=(1+k2)•

2(k2-1)

1+2k2

+(k2-1)(-

4k2

1+2k2

)+1+k²
=

7k2-1

1+2k2

=

1

2

，解得k=±

1

2

，
所以直线l的方程为：y=±

1

2

(x+1)，即x-2y+1=0或x+2y+1=0．

点评：本题考查椭圆抛物线标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系及向量的数量积运算，本题运算量大，综合性强，能力要求高．