Question

已知(

a

x

+

x 2

)9的展开式中x³的系数为

9

4

，则关于t的不等式at²-4t-3＜0的解集为

{x|-

1

2

＜x＜

3

2

}

．

Answer 1

分析：在 (

a

x

+

x 2

)9的展开式的通项公式中，令x的系数等于3，求得 (

a

x

+

x 2

)9的展开式中x³的系数，根据它等于

9

4

，求出a的值，解关于t的不等式at²-4t-3＜0，求出其解集．

解答：解：由于 (

a

x

+

x 2

)9的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 9

(ax-1)9-r(

x

2

)

r

2

=(

1

2

)

r

2

C

r 9

a9-rx

3r

2

-9，令

3

2

 r-9=3，可得 r=8．
故 (

a

x

+

x 2

)9的展开式中x³的系数为 (

1

2

)4

C

8 9

a9-8=

a

16

=

9

4

，∴a=4．
则关于t的不等式at²-4t-3＜0 即 4t²-4t-3＜0，∴-

1

2

＜t＜

3

2

，故不等式的解集为 {x|-

1

2

＜x＜

3

2

}，
故答案为：{x|-

1

2

＜x＜

3

2

}．

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，一元二次不等式的解法，属于中档题．