Question

20．已知F₁，F₂分别是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦点，过F₁倾斜角为60°的直线交双曲线于点M，N．求|MN|的长．

Answer 1

分析 依题意可求得直线MN的方程，与x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1联立，利用韦达定理可求得|MN|，

解答 解：∵x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），
∴过F₁且倾斜角为60°的直线l方程为：y=$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{3}$），
与双曲线方程联立，消去y得：x²+6$\sqrt{3}$x+11=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程x²+6$\sqrt{3}$x+11的两根．
∴x₁+x₂=-6$\sqrt{3}$，x₁x₂=11，
∴|MN|=$\sqrt{1+3}•\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-44}$=16．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的相交，考查点弦长公式，考查转化与运算的综合应用，属于中档题．