题目内容
【题目】若正项数列
的首项为
，且当数列
是公比为
的等比数列时，则称数列为“
数列”.
（1）已知数列的通项公式为
，证明：数列为“数列”；
（2）若数列
为“数列”，且对任意
，
、
、
成等差数列，公差为
.
①求与
间的关系；
②若数列
为递增数列，求
的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）①
；②
.
【解析】
（1）根据数列
的通项公式得出
，
，结合题中定义可得出结论；
（2）①根据数列
为“
数列”，可求得
，再由
、
、
成等差数列可得出
，由此计算出
，即可得解；
②推导出
，利用累加法可分别求出
和
的表达式，根据数列
为递增数列可得出
对
恒成立，由此可求得
的取值范围.
（1）
，
且
，
，
，
所以，数列的首项为
且
是公比为
的等比数列，故为“数列”；
（2）①
数列为“数列”，
，
，
而、、成等差数列，
，
；
②由①知，
，
，
，
，
所以，数列的奇数项与偶数项分别递增，
，
，
，
，
，
因为，数列单调递增，
对恒成立，
，
故的取值范围为.
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