Question

【题目】如图，在四棱锥中，是边长为4的正三角形，且，，，，M为AB中点．

（Ⅰ）证明：平面ADE；

（Ⅱ）求直线CA与平面BCDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取AE的中点F，连接MF、FD，只需证明四边形MFDC为平行四边形，因为点M为AB的中点，所以，且，则易证.

（Ⅱ）先证明平面ADE，作于，再证明平面CDEB，所以为直线CA与平面BCDE所成的角，利用，求出，则直线CA与平面BCDE所成角的正弦值可求．

（Ⅰ）证明：

取AE的中点F，连接MF，FD，

因为点M为AB的中点，

所以，且，

又因为且，

所以，，

所以四边形MFDC为平行四边形，所以，

又因为平面ADE，平面ADE，

所以平面ADE．

（Ⅱ）解：因为，，，

所以，所以，

又，，

所以平面ADE，

又平面CDEB，

所以平面平面CDEB，

作于，因为平面平面，

所以平面CDEB，连接CH，

所以为直线CA与平面BCDE所成的角．

因为平面ADE，所以，

在直角梯形BCDE中，作于，则四边形为矩形，

则，，

因为，所以，

在直角三角形ACD中，，

又，

在中，

所以

所以，

所以，

所以直线CA与平面BCDE所成角的正弦值为．