Question

（本小题满分10分）已知函数是偶函数．

（1）求实数的值;

（2）设,若有且只有一个实数解,求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）. （2）的取值范围是{}∪[1,＋∞）．

【解析】

试题分析：（1）通过偶函数的定义，知，化简得,进而求出 。（2）通过分析得出题意可化为方程有且只有一个实根, 令,则有且只有一个正根，再通过，分三种情况、、讨论求的取值范围。

试题解析：（1）由函数是偶函数可知:,

∴ ,

化简得,

即对一切恒成立,∴.

（2）函数与的图象有且只有一个公共点,

即方程有且只有一个实根,

化简得:方程有且只有一个实根,

且成立, 则

令,则有且只有一个正根

设,注意到,

所以①当时, 有, 合题意;

②当时,图象开口向下,且,则需满足

,此时有;（舍去）

③当时,又,方程恒有一个正根与一个负根.

综上可知,的取值范围是{}∪[1,＋∞）．

考点：对数函数的奇偶性和分类整合思想