Question

函数y=kx（k＞0）的图象与函数y=log₂x的图象交于两点A₁、B₁（A₁在线段OB₁上，O为坐标原点），过A₁、B₁作x轴的垂线，垂足分别为M、N，并且A₁M、B₁N分别交函数y=log₄x的图象于A₂、B₂两点．
（1）试探究线段A₁A₂、A₂M的大小关系；
（2）若A₁B₂平行于x轴，求四边形A₁A₂B₂B₁的面积．

Answer 1

分析：（1）设A₁（x₁，log₂x₁），B₁（x₂，log₂x₂），则A₂（x₁，log₄x₁），B₂（x₂，log₄x₂），由题意可求得A₁A₂=

1

2

log2x1，A₂M=

1

2

log2x1，从而可得答案；
（2）若A₁B₂平行于x轴，可求得

x1= x2 log2x1=kx1 log2x2=kx2

，从而可求得

x1=2 x2=4 k= 1 2

，得到A₁，B₁，，A₂，B₂的坐标，从而可求四边形A₁A₂B₂B₁的面积．

解答：解：由题设A₁（x₁，log₂x₁），B₁（x₂，log₂x₂），则A₂（x₁，log₄x₁），B₂（x₂，log₄x₂），
（1）A₁A₂=log₂x₁-log₄x₁=log₂x₁-

1

2

log₂x₁=

1

2

log₂x₁；
A₂M=log₄x₁=

1

2

log2x1，
故A₁A₂=A₂M；
（2）若A₁B₂平行于x轴，则log₂x₁=log₄x₂=

1

2

log2x2=log₂

x2

，x₁=

x2

；
又log₂x₁=kx₁，log₂x₂=kx₂，
联立方程组

x1= x2 log2x1=kx1 log2x2=kx2

，解得

x1=2 x2=4 k= 1 2

此时A₁（2，1），B₁（4，2），A₂（2，

1

2

），B₂（4，1）．
∴四边形A₁A₂B₂B₁的面积=

( 1 2 +1)×2

2

=

3

2

．

点评：本题考查对数的运算性质，考查解方程组的能力，考出转化思想与方程思想的运用，考查思维与运算能力，属于难题．