Question

已知点P在曲线C：y=

1

x

 (x＞1)上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（k＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为x_A、x_B，记f（t）=x_A•x_B．
（1）求f（t）的解析式；
（2）设数列{a_n}满足a1=1，an=f(

an-1

) (n≥2 且 x∈N*)，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在 （2）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式a1+a2+…+an＞

3n-8k

k

．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

x

，求出切线方程为y-

1

t

=-

1

t2

(x-t)，与y=kx联立得：xA=

2t

kt2+1

，x_B=2t，再由f（t）=x_A•x_B，能求出f（t）的解析式．
（2）由an=f(

an-1

)得：an=

4an-1

kan-1+1

，

1

an

=

kan-1+1

4an-1

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

，设bn=

1

an

-

k

3

，则bn=

1

an

-

k

3

=

1

4

(

1

an-1

-

k

3

)=

1

4

bn-1，由此导出bn=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1，解得an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

．
（3）因为an-

3

k

=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

-

3

k

=

3k-9

k2•4n-1+k(3-k)

，由1＜k＜3，知an-

3

k

＞

3k-9

k2

•

1

4n-1

，所以a1+a2+…+an-

3n-8k

k

=（a1-

3

k

）+（a2-

3

k

）+…+（an-

3

k

）=

3k-9

k2

(1+

1

4

+…+

1

4n-1

)+8＞

4(k-3)

k2

+8
=

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0，由此能够证明a1+a2+…+an＞

3n-8k

k

．

解答：解：（1）∵y=

1

x

，
∴y′=-

1

x2

，
∴切线方程为y-

1

t

=-

1

t2

(x-t)，
与y=kx联立得：xA=

2t

kt2+1

，令y=0，得：x_B=2t，
∵f（t）=x_A•x_B，
∴f(t)=

4t2

kt2+1

（k＞0，t＞1）．
（2）由an=f(

an-1

)得：an=

4an-1

kan-1+1

，

1

an

=

kan-1+1

4an-1

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

，
设bn=

1

an

-

k

3

，
则bn=

1

an

-

k

3

=

1

4

(

1

an-1

-

k

3

)=

1

4

bn-1，
∵a₁=1，
∴①当k=3时，b1=

1

a1

-1=0，
∴{b_n}是以0为首项的常数数列，
∴a_n=1．
②当k≠3时，{b_n}是以1-

k

3

为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴bn=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1，
解得an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

，
由①②，得an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

．
（3）∵an-

3

k

=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

-

3

k

=

3k-9

k(k•4n-1+3-k)

=

3k-9

k2•4n-1+k(3-k)

，
∵1＜k＜3，
∴an-

3

k

＞

3k-9

k2

•

1

4n-1

，
∴a1+a2+…+an-

3n-8k

k

=（a1-

3

k

）+（a2-

3

k

）+…+（an-

3

k

）
=

3k-9

k2

(1+

1

4

+…+

1

4n-1

)+8
=

4(k-3)

k2

[1-(

1

4

)n]+8
＞

4(k-3)

k2

+8
=

4(2k+3)(k-1)

k2

，
∵1＜k＜3，
∴

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0．
∴a1+a2+…+an＞

3n-8k

k

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．