Question

已知点P在曲线C：y=

1

x

（x＞1）上，设曲线C在点P处的切线为l，若l与函数y=kx（k＞0）的图象的交点为A，与x轴的交点为B，设点P的横坐标为t，A、B的横坐标分别为x_A、x_B，记f（t）=x_A•x_B．
（Ⅰ）求f（t）的解析式；
（Ⅱ）设数列{a_n}（n≥1，n∈N）满足a₁=1，a_n=f(

an-1

)（n≥2），数列{b_n}满足b_n=

1

an

-

k

3

，求a_n与b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出曲线C在点P处的切线为l的方程，求出点B的坐标，联立切线方程与方程y=kx求出点A的坐标，代入f（t）=x_A•x_B．就可求得f（t）的解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求出数列{a_n}的递推关系，再利用b_n=

1

an

-

k

3

求出数列{b_n}的递推关系，根据k的取值分别求出a_n与b_n即可．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论求出数列{a_n-

k

3

}的表达式，再对其用放缩法求和，即可证明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞

3n-8k

k

．

解答：解：（Ⅰ）∵y=

1

x

，∴y′=-

1

x2

，又点P的坐标为(t，

1

t

)，
曲线C在点P处的切线的斜率为-

1

t2

，则切线l的方程为y-

1

t

=(x-t)(-

1

t2

)，
令y=0，得x_B=2t；由

y=kx y- 1 t =- 1 t2 (x-t)

得xA=

2t

kt2+1

，
∴xA•xB=

4t2

kt2+1

故f(t)=

4t2

kt2+1

(t＞1)（3分）
（Ⅱ）由已知，n≥2时，an=

4an-1

kan-1+1

，得

1

an

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

，
∴bn=

1

an

-

k

3

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

-

k

3

=

1

4

(

1

an-1

-

k

3

)=

1

4

bn-1；
①当k=3时，b₁=0，数列{b_n}是以0为首项的常数列，则b_n=0，从而a_n=1；（5分）
②当k≠3时，b1=1-

k

3

≠0，数列{b_n}为等比数列，b_n=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1，
从而an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

综上，an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

，b_n=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1（8分）
（Ⅲ）an-

3

k

=

3k-9

k(k•4n-1+3-k)

∵1＜k＜3，∴

3k-9

k

＜0，又0＜

1

k•4n-1+3-k

＜

1

k•4n-1

∴an-

3

k

＞

3k-9

k

•

1

k•4n-1

，即an-

3

k

＞

3k-9

k2

•

1

4n-1

，（10分）
∴(a1-

3

k

)+(a2-

3

k

)++(an-

3

k

)＞

3k-9

k2

(

1

40

+

1

41

++

1

4n-1

)=

3k-9

k2

•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4(k-3)

k2

[1-(

1

4

)n]＞

4(k-3)

k2

，
∴a1+a2++an＞

3n

k

+

4(k-3)

k2

，（12分）
又∵

4(k-3)

k2

-

-8k

k

=

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0，
∴

4(k-3)

k2

＞

-8k

k

，∴a1+a2++an＞

3n

k

+

-8k

k

=

3n-8k

k

，即所证不等式成立．（14分）

点评：本题涉及到用放缩法来证明不等式．当函数与数列，不等式合在一起出题时，多会涉及到用放缩法来证明不等式．在放缩时，放缩的度要把握好．