Question

已知点P在曲线C：y=（x＞1）上，设曲线C在点P处的切线为l，若l与函数y=kx（k＞0）的图象的交点为A，与x轴的交点为B，设点P的横坐标为t，A、B的横坐标分别为x_A、x_B，记f（t）=x_A•x_B．
（Ⅰ）求f（t）的解析式；
（Ⅱ）设数列{a_n}（n≥1，n∈N）满足a₁=1，a_n=（n≥2），数列{b_n}满足b_n=，求a_n与b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出曲线C在点P处的切线为l的方程，求出点B的坐标，联立切线方程与方程y=kx求出点A的坐标，代入f（t）=x_A•x_B．就可求得f（t）的解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求出数列{a_n}的递推关系，再利用b_n=求出数列{b_n}的递推关系，根据k的取值分别求出a_n与b_n即可．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论求出数列{a_n-}的表达式，再对其用放缩法求和，即可证明不等式：a₁+a₂+…+a_n＞．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，又点P的坐标为，
曲线C在点P处的切线的斜率为，则切线l的方程为，
令y=0，得x_B=2t；由得，
∴故（3分）
（Ⅱ）由已知，n≥2时，，得，
∴；
①当k=3时，b₁=0，数列{b_n}是以0为首项的常数列，则b_n=0，从而a_n=1；（5分）
②当k≠3时，，数列{b_n}为等比数列，b_n=，
从而
综上，，b_n=（8分）
（Ⅲ）
∵1＜k＜3，∴
∴，（10分）
∴
=，
∴，（12分）
又∵，
∴，∴，即所证不等式成立．（14分）
点评：本题涉及到用放缩法来证明不等式．当函数与数列，不等式合在一起出题时，多会涉及到用放缩法来证明不等式．在放缩时，放缩的度要把握好．