Question

【题目】正项数列{an}的前n项和为Sn ， 满足an=2 ﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，则实数k的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵an=2 ﹣1，∴Sn= ，

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ，

化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵n∈N*，an＞0，

∴an﹣an﹣1=2．

n=1时，a1=S1= ，解得a1=1．

∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2．

∴Sn=n+ =n2．

∴不等式SP+Sq＞kSp+q化为：k＜ ，

∵ ＞ ，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式SP+Sq＞kSp+q恒成立，

∴ ．

则实数k的取值范围为 ．

所以答案是： ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．