Question

已知函数，则方程（）的根的个数不可能为（ ） 
6      5      4      3

Answer 1

A

试题分析：先画出函数f（t）的图象，得出f（t）=a的实数根的情况；再利用换元法，令t=2x²+x，进一步考查f（2x²+x）=a根的情况即可解：（1）画出f（x）图象，

当x＞0时，f（x）=x+ ≥2，当x≤0时，f（x）=x³+3≤3．于是可得：①当2＜a＜3时，f（x）=a有3个根，一负二正；②当a=3时，f（x）=a有3个根，一零二正；③当3＜a时，f（x）=a有2个正根；④当a=2时，f（x）=a有一正一负根；⑤当a＜2时，f（x）=a只有一负根．（2）令t=2x²+x=2(x+ )²-
，则t≥-，①当2＜a＜3时，f（t）=a有3个t使之成立，一负二正，两个正t分别对应2个x，当t＜-时，没有x与之对应，当t=-时，有1个x与之对应，当t＞-时，有2个x与之对应，∴根的个数分别为4、5、6个；②当3＜a时，f（t）=a有2个正根，两个正t分别对应2个x，此时根的个数为4个．③由题目不必考虑a≤2的情形．所以根的个数只可能为4、5、6个．即方程f（2x²+x）=a的根的个数只可能为4、5、6个，不可能为3个．故选A．
点评：正确得出函数的单调性并画出函数图象、利用换元法及分类讨论的方法是解题的关键．