题目内容
已知数列{xn}满足下列条件：x1=a，x2=b，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数，猜想xn的通项公式，并用数学归纳法证明．
考点：数学归纳法,归纳推理
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：先根据题意得到数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，继而利用累加法求得xn的通项公式，再根据数学归纳证明即可
解答：
证明：∵xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），λ为非零常数，
∴xn+1-xn=λ（xn-xn-1），
∵x1=a，x2=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x2-x1=b-a＞0，
∴数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故xn+1-xn=（b-a）λn-1，
∴x2-x1=b-a，
x3-x2=（b-a）λ，
x4-x3=（b-a）λ2，
…
xn-xn-1=（b-a）λn-2，
累加得xn-a=（b-a）（1+λ+λ2+…+λn-2）
当λ=1时，原数列为等差数列，xn=（n-1）（b-a）+a
当λ≠1时，xn=（b-a）
+a，
用数学归纳法证明，
①当n=1，n=2时，显然成立，
②假设当n=k成立，即xk=（b-a）
+a，
那么当n=k+1时，xk+1=xk+（b-a）λk-1=（b-a）
+a+（b-a）λk-1=（b-a）
+a
即当n=n=k+1时成立，
由①②可得当λ≠1时，xn=（b-a）
+a，
∴xn+1-xn=λ（xn-xn-1），
∵x1=a，x2=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x2-x1=b-a＞0，
∴数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故xn+1-xn=（b-a）λn-1，
∴x2-x1=b-a，
x3-x2=（b-a）λ，
x4-x3=（b-a）λ2，
…
xn-xn-1=（b-a）λn-2，
累加得xn-a=（b-a）（1+λ+λ2+…+λn-2）
当λ=1时，原数列为等差数列，xn=（n-1）（b-a）+a
当λ≠1时，xn=（b-a）
| 1-λn-1 |
| 1-λ |
用数学归纳法证明，
①当n=1，n=2时，显然成立，
②假设当n=k成立，即xk=（b-a）
| 1-λk-1 |
| 1-λ |
那么当n=k+1时，xk+1=xk+（b-a）λk-1=（b-a）
| 1-λk-1 |
| 1-λ |
| 1-λk |
| 1-λ |
即当n=n=k+1时成立，
由①②可得当λ≠1时，xn=（b-a）
| 1-λn-1 |
| 1-λ |
点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立，属于中档题
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