Question

若在抛物线2y=x²上存在两个不同的点M、N关于直线y=kx+3对称，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线y=-

x

k

+m与2y=x²交点为A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），中点为P（x₀，y₀）“点差法”求出

y1-y2

x1-x2

，代直线求出x₀，此直线与抛物线有两个交点，计算判别式推出k与m的不等式，由此能求出结果．

解答： 解：设直线y=-

x

k

+m与2y=x²交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P（x₀，y₀），
x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
∴

2y1=x12 2y2=x22

，
两式相减，得2（y₁-y₂）=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2x₀（x₁-x₂），
∴-

1

k

=

y1-y2

x1-x2

=x₀，代入直线y=-

x

k

+m求出y₀=

1

k2

+m，
此直线与抛物线有两个交点，y=-

x

k

+m与2y=x²，联立可得x²+

2

k

x-2m=0，由判别式得

1

k2

+2m＞0，
P点应在y=kx+3上，代入整理得，

1

k2

+m=2，即m=2-

1

k2

．
代入由判别式得出的式子中整理

1

k2

+2(2-

1

k2

)＞0，
解得k∈（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．
故答案为：（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．