Question

15．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费，第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费，第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1800，为了使年利润达到最大值，两种机器应购买多少台？

Answer 1

分析 设第一种机器应该购买x台，第二种应购买y台，总利润为z万元，建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：设第一种机器应该购买x台，第二种应购买y台，总利润为z万元，
则约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y≤135}\\{50x+20≤1800}\\{x∈{N}^{•}，y∈{N}^{•}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y≤135}\\{5x+2y≤180}\\{x，y∈{N}^{•}}\end{array}\right.$
目标函数z=9x+6y．
作出可行域（如图所示）．
考虑函数z=9x+6y，得y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{6}$，平移直线y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{6}$，
由图可见，当直线z=9x+6y过点M时，截距最大，z最大．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=135}\\{5x+2y=180}\end{array}\right.$，得M点的坐标（$\frac{630}{19}$，$\frac{135}{19}$）．
此时z最大，但（$\frac{630}{19}$，$\frac{135}{19}$）不是整点．y=$\frac{135}{19}=7\frac{2}{19}≈$7，
x=$\frac{630}{19}=33\frac{3}{19}≈33$．
即当x=33，y=7时，z最大，
最大z=9×33+6×7=339．
答：第一种机器应该购买33台，第二种机器应该购买7台．

点评 本题主要考查线性规划的应用，设出变量，建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．