Question

设函数f（x）=

1 x      x＞0 ex    x≤0

，F（x）=f（x）+x，x∈R．F（x）的值域为（　　）

A．（-∞，1]

B．[2，+∞）

C．（-∞，1]∪[2，+∞）

D．（-∞，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：先求出函数F（x）的解析式，当x＞0时可利用基本不等式求出值域，当x≤0时可利用导数研究函数的值域，从而求出所求．

解答：解：∵f（x）=

1 x      x＞0 ex    x≤0

，F（x）=f（x）+x，
∴F（x）=

1 x +x     x＞0 ex+x    x≤0

，
当x＞0时，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1时取等号，
当x≤0时，
∵（e^x+x）′=e^x+1＞0，
∴e^x+x在（-∞，0]上单调递增，
∴e^x+x≤1，
综上所述：F（x）的值域为（-∞，1]∪[2，+∞）．
故选C．

点评：本题主要考查了分段函数求值域，以及利用不等式求值域和利用导数求值域，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．