Question

如图，已知两定点A（1，0），B（4，0），坐标xOy平面内的动点M满足，
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程并画出草图；
（Ⅱ）是否存在过点A的直线n，使得直线n与曲线C相交于P，Q两点，且△PBQ的面积等于2？如果存在，请求出直线n的方程；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设M（x，y），
则，
代入得，，
化简，即得曲线C的方程为x²+y²=4，草图如图所示，

（Ⅱ）（ⅰ）若直线n的斜率不存在时，此时点，
△PBQ的面积等于，不符合；
（ⅱ）若直线n的斜率为k时，直线n的方程设为y=k（x-1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
则，
则，
所以，
点B到直线n的距离，
所以△PBQ的面积等于，
解得k=，
故存在直线n为y=（x-1）。