Question

如图，已知两定点A（1，0），B（4，0），坐标xOy平面内的动点M满足2|

AM

|=|

BM

|．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程并画出草图；
（Ⅱ）是否存在过点A的直线n，使得直线n与曲线C相交于P，Q两点，且△PBQ的面积等于2

5

？如果存在，请求出直线n的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），分别表示出|

AM

|=

(x-1)2+y2

，|

BM

|=

(x-4)2+y2

，代入2|

AM

|=|

BM

|化简，
即得轨迹C的方程；
（Ⅱ）求直线方程分斜率存在于不存在，进行讨论．（i）若直线n的斜率不存在时，不符合；
（ii）若直线n的斜率为k时，直线n的方程设为y=k（x-1），与圆的方程联立，消去y，可得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），从而可求 |PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 3k2+4

1+k2

，点B到直线n的距离d=

|3k|

k2+1

，利用△PBQ的面积等于2

5

，即可求得直线方程．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则|

AM

|=

(x-1)2+y2

，|

BM

|=

(x-4)2+y2

，代入2|

AM

|=|

BM

|得，2

(x-1)2+y2

=

(x-4)2+y2

，
化简即得曲线C的方程为x²+y²=4，草图如图所示．-----（5分）
（Ⅱ）（i）若直线n的斜率不存在时，此时点P(1 ， -

3

)，Q(1 ， 

3

)，△PBQ的面积等于3

3

，不符合；-----------（6分）
（ii）若直线n的斜率为k时，直线n的方程设为y=k（x-1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-1) x2+y2=4

，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
则x1+x2=

2k2

1+k2

，x1x2=

k2-4

1+k2

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 3k2+4

1+k2

，
所以 |PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

2 3k2+4

1+k2

，
点B到直线n的距离d=

|3k|

k2+1

，
所以△PBQ的面积等于

1

2

•

2 3k2+4

1+k2

•

|3k|

1+k2

=2

5

，解之k=±

2

，
故存在直线n为y=±

2

(x-1)．-------------（12分）

点评：本题以轨迹为载体，考查轨迹方程的求法，考查是否存在性问题，解题的关键是设点、列式、化简，对于存在性命题，通常转化为封闭性命题求解．