Question

如图，已知两定点A（1，0），B（4，0），坐标xOy平面内的动点M满足．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程并画出草图；
（Ⅱ）是否存在过点A的直线n，使得直线n与曲线C相交于P，Q两点，且△PBQ的面积等于？如果存在，请求出直线n的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（x，y），分别表示出，，代入化简，
即得轨迹C的方程；
（Ⅱ）求直线方程分斜率存在于不存在，进行讨论．（i）若直线n的斜率不存在时，不符合；
（ii）若直线n的斜率为k时，直线n的方程设为y=k（x-1），与圆的方程联立，消去y，可得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），从而可求 =，点B到直线n的距离，利用△PBQ的面积等于，即可求得直线方程．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则，，代入得，，
化简即得曲线C的方程为x²+y²=4，草图如图所示．-----（5分）
（Ⅱ）（i）若直线n的斜率不存在时，此时点，，△PBQ的面积等于，不符合；-----------（6分）
（ii）若直线n的斜率为k时，直线n的方程设为y=k（x-1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
则，，
∴=，
所以 =，
点B到直线n的距离，
所以△PBQ的面积等于=，解之，
故存在直线n为．-------------（12分）
点评：本题以轨迹为载体，考查轨迹方程的求法，考查是否存在性问题，解题的关键是设点、列式、化简，对于存在性命题，通常转化为封闭性命题求解．